引言

内容¶

• 图像压缩导论

• 熵编码 霍夫曼编码、算术编码、行程长度编码、LZW编码

• 预测编码

  • DM编码、DPCM编码

• 块变换编码

  • KL变换编码、离散余弦变换

• JPEG编码

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压缩比与数据冗余¶

• 数据是传递信息的手段。由于可以使用不同数量的数据来表示相同数量的信息，因此包含不相关或重复信息的表示被称为包含冗余数据。设 b 和 b’ 分别表示相同信息的两种表示中的比特数，则压缩比可以定义为：

  $$C=\frac{b}{b'}$$

  (1)

• 冗余数据的存在为图像压缩提供了可能性。对于图像压缩问题，主要考虑以下三种冗余：

  • 编码冗余、

  • 空间和时间冗余

  • 以及无关信息。

编码冗余 - 平均编码长度¶

• 编码冗余

  • 每个信息或事件被赋予一个编码符号序列，称为码字，而每个码字里的符号个数称为码字的长度

  • 图像灰度值的出现概率

    $$p_s\left(r_k\right)=n_k/n, \quad k=0,1,\cdots,L-1$$

    (2)
    $$L_{avg}=\sum_{k=0}^{L-1} l\left(r_k\right)p_r\left(r_k\right)$$

    (3)

    为表示每个像素所需的平均比特数

  • 编码时如果不能使Lavg达到最小，就说明存在编码冗余

  • 编码所用符号构成的集合称为码本。

  • 最简单的二元码本称为自然码，它对出现概率不同的灰度级都赋予相同数量的比特数，因而不能使Lavg达到最小，从而产生编码冗余。此时可使用变长码

空间和时间冗余¶

• 与像素间相关性直接联系着的数据在空间和时间上的冗余

• 根据相关性，由某一个像素的性质往往可在空间和时间上推断其邻域像素的性质

• 为了减少图像中的像素相关冗余，需要将常用的2D像素矩阵表达形式转换为某种更有效（但可能不直观）的表达形式。这种减少像素间冗余的转换常称为映射

无关信息与量化¶

• 图像中（在特定的场合或时间）与另外一些信息相比来说不那么重要的某些信息可认为是不相关的。

• 这样的信息之所以能够被丢弃，是因为信息本身对于（人类）正常的视觉处理和/或预期用途不是必不可少的。

• 因为这类信息的压缩会导致一定量信息的丢失，所以去除它通常被称为量化。

图像压缩模型¶

• 以原图像$f(x,y)$作为输入,可在编码器中进行编码,生成压缩数据。压缩后的数据不仅易于存储以备后续使用,而且易于传输到远端使用。对压缩数据进行解码可重建图像$\hat{f}(x,y)$。

• 在图像应用中,编码输入和解码器输出可用$f(x,y)$和$\hat{f}(x,y)$表示。在视频应用程序中,编码输入和解码器输出则用$f(x,y,t)$和$\hat{f}(x,y,t)$表示,其中离散参数$t$代表时间。

无损压缩与有损压缩¶

原始图像经编码后成为一串特定的码流,这串码流经解码又成为一幅图像。我们区分两种压缩方式:

• 无损压缩(无损压缩):压缩过程中不损失任何信息, 即解码图像与原始图像完全相同。 可以达到高达1/10的压缩比 (压缩后图像的字节大小是原始图像的1/10)。 无损图像压缩方法包括行程长度编码、熵编码法等。

• 有损压缩(有损压缩):在压缩过程中接受丢失部分信息 (同时确保解码图像仍然接近原始图像)。 压缩比可以达到高达1/100! 有损压缩方法包括块变换编码、分形压缩等。

编码类别¶

• 根据编码原理，编码方法分为四类：

1. 熵编码或统计编码：属于无损编码。为出现概率较高的符号分配一个短码字，为出现概率较小的符号分配一个长码字，从而使最终的平均码长较小。主要的熵编码方法包括霍夫曼编码、香农编码、算术编码等。

2. 预测编码：基于图像数据的空间或时间冗余特性，利用相邻的已知像素（或像素块）来预测当前像素（或像素块）的值，然后对预测误差进行量化和编码。包括脉冲编码调制PCM、差分脉冲编码调制DPCM等。

3. 变换编码：将空间域中的图像变换到另一个变换域。变换后图像的大部分能量仅集中在少数几个变换系数上，通过使用适当的量化和熵编码可以有效地压缩图像。

4. 混合编码：结合了熵编码、变换编码或预测编码的编码方法，如JPEG标准和MPEG标准。